Basis (Vektorraum)

Dieser Text beschreibt Basis (Vektorraum).

Eine Basis eines Vektorraums V ist eine durch folgende gleichwertiges Merkmalen charakterisierte Teilmenge B:

1. Jedes Element von V lÀsst sich als Linearkombination von B darstellen, und diese Darstellung ist eindeutig.
2. B ist ein minimales Erzeugendensystem von V.
3. B ist ein maximales linear unabhÀngiges System in V.
4. B ist ein linear unabhÀngiges Erzeugendensystem.

Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren. Unter einem Basisvektor versteht man die partielle Ableitung des Ortsvektors nach einer der Koordinaten des jeweiligen Koordinatensystems.

Eine Linearkombination aus B ist eine endliche Summe skalarer Vielfache von Elementen aus B. Also: Sind b₁,...,b_n aus B und a₁,...,a_n Skalaren, dann ist a₁b₁ + ... + a_nb_n eine Linearkombination.

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist eine Teilmenge E mit der Merkmal, dass jeder Vektor von V sich als Linearkombination aus E darstellen lÀsst.

Eine Teilmenge B des Vektorraums V heißt linear unabhĂ€ngig, wenn die Darstellung des Nullvektors als Linearkombination von B eindeutig ist, wenn also gilt: Ist a₁b₁ + ... + a_nb_n = 0 eine Darstellung des Nullvektors, dann folgt dass alle a_i = 0 sein mĂŒssen.

Die Anzahl der Elemente einer Basis bezeichnet man die Dimension des Vektorraums.

Die Skalare, die in der Darstellung eines Vektors auftreten, bezeichnet man die Koordinaten des Vektors, zusammen bilden sie ihrerseits einen Koordinatenvektor (der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum).

Mit dem Lemma von Zorn kann man beweisen, dass jeder Vektorraum eine Basis haben muss, auch wenn man sie häufig nicht explizit angeben kann. (Benutzt man allerdings eine Mengenlehre ohne das Auswahlaxiom oder Ă€quivalente Aussagen, dann kann es VektorrĂ€ume ohne Basis geben.)

Beispiele

In der Euklidischen Ebene R2 hat man die so genannte kanonische Einheitsbasis {(1,0),(0,1)}. DarĂŒber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren eine Basis, wenn sie nicht dieselbe Richtung haben. e1 und e2 bilden eine Basis der Ebene Als R-Vektorraum hat C die Basis {1,i}. Als Q-Vektorraum hat R eine Basis, die man aber nicht explizit angeben kann. Der Vektorraum der Polynome ĂŒber einem Körper hat die Basis In dem Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die folgenden Vektoren zwar ein linear unabhĂ€ngiges System, aber keine Basis, denn z.B. die Folge (1,1,1,...) wird nicht davon erzeugt: {(1,0,0,0,...),(0,1,0,0,...),(0,0,1,0,...),...} Buch-Tipp: Basispass Pferdekunde. Fragen, Antworten, Tipps. ... nicht nur zu dem 'Grundlagenabzeichen' im Pferdesport Tolles Spiel zur Vorbereitung auf den Basispass Pferdekunde Das kennt doch jeder, der schon mal eine PrĂŒfung mitgemacht hat: Das Lernen ist meist ziemlich nervig! Nicht so mit diesem Spiel aus dem FN-Verlag. Es bereitet den PrĂŒfling in interessanter Weise mit Multiple Choice Fragen auf den Basispass Pferdekunde der FN vor.